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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 gXXxg  
4j<IJKdwY  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. !{N4Pr>=4S  
]38`(DK'  
　　1、三角函数本质： [<vG3GO]  
} o/E]  
　　三角函数的本质来源于定义 a*LsUZ  
nV/?VW  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 $*K_  
;Z( z9l%  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 +I4g^  
Ebs7qI87b3  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 6N"h` @  
78tC(*1py@  
　　推导： UO?2uUz  
'aCL um6  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 gsbw!uYz  
UA" bI~i  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) _ M<Y  
Pw4{I]@c  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @hf0vr]  
d1_\.pl  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 G]H$d|<  
7[F|07"  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） -m&&G 3kM  
w,dxK=raN  
　　[1] jJ8Bu1r%  
U~|+ $fNny  
　　两角和公式 B,o}=nq~r  
zLZcHa&JG  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB {!%ro}|  
}|LJXLDf  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Q%%9)0wK-  
xQot@f>  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB O3& %VD#  
E-);G6I  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB xPHZv>mm  
S`<Y)DL Bh  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) JJS3#pb  
e/ o%  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) |ss[Js  
[tbw9  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)   EtCrWe*#  
"k`lxA&z  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) O>,BsE  
L) jr  
倍角公式 g{VxFR  
Vse58 rinG  
　　Sin2A=2SinA•CosA 'QnI^GFQ  
$+I{xz+x  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 {R~$dB  
"Q ]&r 6  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） *A: rVPXn  
)@6NwG1qq  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 8p_ :2$  
8E6"~j  
三倍角公式 el:h'  
>Uk@;08C  
　　 $xDwgI  
.Qu8~YeX a  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) #%#d:qN  
{,SLz0x1Y  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) SDpErR  
sy/t W.=  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) o`TZAN3p2  
?dlV`X@_?Z  
三倍角公式推导 V`S`Oi  
@U0H>q  
　　sin3a w%Ry]w=ga  
Os:T|m^H  
　　=sin(2a+a) 1g'f$Eh  
9F5HBZh  
　　=sin2acosa+cos2asina b6%QLp  
+1X"i_  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina X*Z<c^c?  
V*~HnbV1\I  
　　=3sina-4sin³a &3N>n6!s@  
w|[.J{Y  
　　cos3a VeEfQ>n  
*% iCN~A  
　　=cos(2a+a) B$l0HF  
~)^Ur}(v  
　　=cos2acosa-sin2asina 6et t=kh  
O< Od q-Oh  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa hJ!KSJ!vu  
9be7TC?Y?  
　　=4cos³a-3cosa S.Cjd%)}o  
#%K4]eW  
　　sin3a=3sina-4sin³a )hon7K  
EY25Zj:  
　　=4sina(3/4-sin²a) =pp)5|o =  
yFXnsO  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ]D;, T .*  
#GX#ihE<  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) N21_ Y{d  
~i_|}[JSJ  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) @9H[4Qg%4  
f]Pi [CJ  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] |GJi"pN"  
d`%`rs\{  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) -NjTU#Bk3  
nU4<4ez  
　　cos3a=4cos³a-3cosa g$pz7=b  
8 pB1[  
　　=4cosa(cos²a-3/4) #WGL"~#e  
K<tF}<e4q  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] R XQe*}>u  
C]@>"gw  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Y_$E03'-_J  
Lz 47nS'  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Xb7 CtZ  
sS$`#  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} #IQHLZReh  
Cfr$k@m(T  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ,iF4Exl  
1qO=e.^  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] NJHE6Zx  
FsV]CC?  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Jw8 Nx&k?k  
q`T'3fXYe  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ?cZAj1d  
Dc&/#L  
　　上述两式相比可得 <2Ttb(XZ  
j:G|UE?+(  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) vly( o  
j2!rDck9  
半角公式 m:{4s$~G  
T#R&nz$  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); [bH ;:>  
\)+rTp;A=  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. $cEC~eu j  
= 55&.AC  
和差化积 ]X. u&**  
7I-42d}-  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] s5gQ^7Ff~  
adrI%.: =  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] E &s~*  
g0X %Z  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] q%Xk3@`g  
lB F}<B  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] \8kCKEtn  
2;huSC   
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) biS>JZ13)  
I}l40Rw9  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ]z %f/  
*tFdwE7  
积化和差 R_d;j[1  
^Pj1fk9  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] xIH =a\  
~IUD 7  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] iv:$?Im 8  
!A)ot6z|  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] FmZ }9:k$  
E\+j)uJP  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Q|}%<n7oV  
#HHwVd$"]  
诱导公式 2=as)$  
2t-'#n  
　　sin(-α) = -sinα lgPLheEa  
k pB!og  
　　cos(-α) = cosα r& W#}W  
BT>+7  
　　sin(π/2-α) = cosα d>SEi2  
1ZM1[ eHs  
　　cos(π/2-α) = sinα c[mV2R%X@  
A"#W&3=kL  
　　sin(π/2+α) = cosα 3|qxk| C  
&L8\?rEau  
　　cos(π/2+α) = -sinα ?UDwnd~\  
J}^>c|+I  
　　sin(π-α) = sinα Zy7,P,?  
=s(.'QO  
　　cos(π-α) = -cosα >00yNn5G~  
XqdW@  
　　sin(π+α) = -sinα $ArX  
S$?#[WZ  
　　cos(π+α) = -cosα PZoEv   
f]X@MKQ  
　　tanA= sinA/cosA )) Z(~tMv  
t,UGal -V  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα lrBirkp  
>ZPLvp1yl  
　　tan（π/2－α）＝cotα H(ObaYckM  
)3mw No  
　　tan（π－α）＝－tanα  nAg}at4  
" vHf_i  
　　tan（π＋α）＝tanα hhtWh=*_  
(<GnM8@7T  
万能公式 owDv d  
KpsGFm  
　　 ~ ;N?dNnk  
<IonS On  
其它公式 W9$YT b  
^>{g% I4  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ]B.vSl  
~bE@ u  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 5D4\f.)  
3/:1`L(/  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ai$@(gqsP  
ph:xr3):%  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 >wkVS;~:=X  
&d<T75'z:  
　　对于任意非直角三角形,总有 TC* uNpx;  
}LDV]SQiM  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC u43Qj]sN9:  
ba-, EL  
　　证: -<k85.^  
74K1 [PB  
　　A+B=π-C F&4hT138  
JJiQ{  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Xr A+  
%<eK:#Z$mJ  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) "}pwts"s  
D[>~gU d.t  
　　整理可得 D)z- $Z  
dl,H*7~\@  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC t6IUti  
B[;W1j[  
　　得证 PZj5Kw S  
9 f" L  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 utb@@P?t  
QW0g#Da  
其他非重点三角函数 bpMh=x-Rf  
Yv C8P  
　　csc(a) = 1/sin(a) k:w>>5"  
|QBs@n  
　　sec(a) = 1/cos(a) c9>fzZj$  
V*\CR[F  
　　 qLIuO <{j  
-d+-| "9  
双曲函数 09-V,7Ct  
22z ep64  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ^+P9=p  
{ Ya;OSn&  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 hxTGp67EH  
MXa?-k4  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) DgPtf z  
z#T@p\m<\  
　　公式一： $,wPT  
{sG$<ARuIJ  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： gH& :XRa  
} L/q S  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 5n0I$&aJ;;  
d('6Y  
　　cos（2kπ＋α）= cosα (1+#kCw: V  
]q Zi`8  
　　tan（kπ＋α）= tanα z<3)L*<;_  
j)o_tUJ  
　　cot（kπ＋α）= cotα I4(V W^~  
WQ42 y  
　　公式二： W6?VyT  
MJip}ZPgXR  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ;"]~j  
_^VAf[sf  
　　sin（π＋α）= -sinα %Vn]Jg  
b fnVreb  
　　cos（π＋α）= -cosα vpW{M 1VyW  
Cn*Ud}l  
　　tan（π＋α）= tanα R5&Gqvx:  
6#8aSpj  
　　cot（π＋α）= cotα n@_}{aD<jx  
W6t87v  
　　公式三：  e +?D  
VeT=Z.  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ]FqWF3  
Yl"=P3KL(M  
　　sin（-α）= -sinα GAfk'R8M;  
0HzG6+X8  
　　cos（-α）= cosα :C&h[jhj  
vua <OZH  
　　tan（-α）= -tanα Xh[Aq<ch4  
2Mp:!%  
　　cot（-α）= -cotα ErcA\p#  
R36IS<  
　　公式四： MzC2`19c  
a6: ]v  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 80u( a:nSb  
a=EQx  
　　sin（π-α）= sinα M32h2 h  
vFR^Y}z  
　　cos（π-α）= -cosα r&u)^`&'H  
>fIW5l  
　　tan（π-α）= -tanα '-N#d|n  
I4{M=M-  
　　cot（π-α）= -cotα N/F4\7  
'B|BNW+  
　　公式五： H 3D+   
&$13HA  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 7*y} )::  
!0JJ`O  
　　sin（2π-α）= -sinα !${6!? 6   
m`[rkJoB  
　　cos（2π-α）= cosα 4+sp|#Br  
3j_0aPR  
　　tan（2π-α）= -tanα O:t{~4=Y  
JUe[k$Nv  
　　cot（2π-α）= -cotα enHmFV"s  
3"g&Q36  
　　公式六： de~HD X  
bJmr(YlG3  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： bh]L3!9  
D0PMw-Ih  
　　sin（π/2+α）= cosα U */n5P  
n(YT $  
　　cos（π/2+α）= -sinα g](1uWg  
Y_\BA8 .:  
　　tan（π/2+α）= -cotα R A^  
Q"uWC[Rb`  
　　cot（π/2+α）= -tanα 1$h-6K{@*j  
G"[_Su]o  
　　sin（π/2-α）= cosα $W>O9QM  
M5W<zTlQ  
　　cos（π/2-α）= sinα ]yx| Mme  
JofW)N>  
　　tan（π/2-α）= cotα g>yWpT}b  
BJ`(US9j=w  
　　cot（π/2-α）= tanα >yns \Oc  
h!k%@A!  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Wn>8@ji2  
(NXo0J9}B  
　　cos（3π/2+α）= sinα "f!!O@  
8?gzRzZ?  
　　tan（3π/2+α）= -cotα j~{QCyRSy@  
aev/~+|)  
　　cot（3π/2+α）= -tanα _}B ",  
\w}FM"#N Y  
　　sin（3π/2-α）= -cosα =T#wsY_q  
z-89*>pd  
　　cos（3π/2-α）= -sinα P<]AQ:Hx  
.1twR6  
　　tan（3π/2-α）= cotα 6<U-*A  
=MN$nJo  
　　cot（3π/2-α）= tanα "~B4!H0  
Y}(kV<*~'  
　　(以上k∈Z) x]JjW 'o  
.iB.R6_lL  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 u 2]zTOj  
?Uk\L{ Ny1  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = \sVf G+  
'YR<D$  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ksnV/l#L  
|Pg$Xr DN  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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