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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ahK2$L  
HL,a}<(  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %[/A@iP  
}:!IG^*VQ\  
　　1、三角函数本质： n#Ga4Z@7  
QB29o.x  
　　三角函数的本质来源于定义 Dx]4EClm S  
h|VgT9M  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 YdKJ:kG  
dV_^H -r  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 cv9 $ O5ur  
$@Lf%#  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： @NlF&^y  
! 9'_^ue  
　　推导： >4s; #?7  
Rq(qoZ2D  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 {\Oo(9z?]  
oW^! <A@v  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) B/OV3  
CID M  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ry43ozfEf  
WbE"HHz G  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 2\+>*,HVv  
hFliBT|  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） @kFy   
F4|7T7,  
　　[1] f=++&%6%,  
*"4[q6a  
　　两角和公式 RImfvH  
,?o2uVI#p  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB { %>01"g  
f l.F$mq3  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ;9s/X:  
XKO;p 2l#  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Q9 sx  
"|(!|N.O  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB [ "< c\  
|"?<W^`a  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) >3!0s?"+a  
[J$<L=V  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 2e1%P  
*_#(j-1 >  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  :=eK]U"J  
`Fbbge=SP  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) n%!q>A<  
9x+ B2'Dz  
倍角公式 r^A0vw+  
,|3gi9%  
　　Sin2A=2SinA•CosA Ud6/Vo|  
_HnLtL4p`W  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 (p$:k3\  
T;tk0;i  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） r/Sm9>|1  
%`.IZ<  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） `>iNjv  
]Bs8W! =^  
三倍角公式 QQ7(2{  
9&uF=kNq  
　　 }~ 'aop  
b#nX3%(  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) uB qu1Vo+W  
p]$kl5  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 67(M7Tk[`  
`)8EQ,0k"  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) +cXz =]e|  
G9hC@}i,Y  
三倍角公式推导 @;;DK#1t3  
Dn&jnF94R  
　　sin3a ze&n$$4  
fDnzAH*e{  
　　=sin(2a+a) ]-yw-T/  
9QypE<  
　　=sin2acosa+cos2asina g)io4%\  
;>.J'hX1VB  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina +JCU~<  
h>KS`g7fh  
　　=3sina-4sin³a --%kh6K  
AY>&%|GJ1  
　　cos3a w ~cf1YE  
(hP\ hn0  
　　=cos(2a+a) MnF98#]v  
mq#Znt$Ie  
　　=cos2acosa-sin2asina .*}R.6aD6  
t^'0n!y  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Z WS6S  
I!?cON [^  
　　=4cos³a-3cosa ^OeyWi7#  
1mpwl  k  
　　sin3a=3sina-4sin³a 1} D#&#&(  
)<| <W$.d  
　　=4sina(3/4-sin²a) ]Lq\]%Te  
Ri2ipL5yPx  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] _<?chE  
D,]yM  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) V8lk_f  
.kF{IF^EI  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) b(V==?r  
b}(&b,L  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] i,L!b<  
x2F<7`  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) QL}vU89MN  
gr<\w  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 0Dih{&oYe  
P^cZn?  
　　=4cosa(cos²a-3/4) N 5xv.X  
-# [- <0QY  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Y$I/ PnF  
\N{e;+z=  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) }x"Y  
#* r\2*  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) T[w&`h  
&d;E"SlG&  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} # IB= &Up  
eVte;1]JXk  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) zZu}qjI <  
hTF)vl  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] !uYrETNR7  
b{$kvK )a  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] C\y'V{)tj  
]bB%A  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |]aN!!"  
!"79z'  
　　上述两式相比可得 3SM,Q`D&=  
FNp3@SB}  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) dGb )'>h:  
Z722H!vYk  
半角公式 {6ur%!  
H Ni  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); X`BqE~>.v  
ZNy?_{ZN  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. I j_"2tx  
YS=!"AeCU  
和差化积 :` y{E$|7V  
}'"brB9|  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] F0qQ2^G/4  
~^/qJza  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] K!cf$t  
P%6<d+~Bl  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] u2q# pu  
"t*d88  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 00v2ojZYC  
@ .q@$:  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 734eN'9   
,6dJJ  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) w!>0~jot>  
`p,,qTSei  
积化和差 %4O=lH\  
YN&L 2U8'  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] kLPQmrF  
+2Z$RRO%7r  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sqDY.v ,%  
]1 v{Y:znV  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] (pZdb!*q  
E/09;cU/  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] iV##o[dc  
td*%q99  
诱导公式  qeW$  
OJ~T'\A/  
　　sin(-α) = -sinα 7rl"OE u  
?[\& bqz7  
　　cos(-α) = cosα q.RET  
v>i_MCJv0  
　　sin(π/2-α) = cosα )[?_9r]4  
: (SHj}WW  
　　cos(π/2-α) = sinα =[8j0%]^%  
F|XP4d1  
　　sin(π/2+α) = cosα ;9DRAe  
~8z%d34!J  
　　cos(π/2+α) = -sinα *6%U`&[  
0>? B.j  
　　sin(π-α) = sinα pZ#;s  
4]Zg$nL  
　　cos(π-α) = -cosα DGma1u  
~,!]cwLnK  
　　sin(π+α) = -sinα 4TQ8d1O O  
XHad1s==l  
　　cos(π+α) = -cosα JA3BnvlHy  
S;KV1=S.k  
　　tanA= sinA/cosA )nywwSDwS  
}}%xb  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα $RzQCULk  
&+lddF}1  
　　tan（π/2－α）＝cotα /S#Hakc7~  
r.WBlZ$  
　　tan（π－α）＝－tanα GIH*1<,Wx  
| ~ud  
　　tan（π＋α）＝tanα rVRPz7M'e  
[4k'H-w  
万能公式 4[E<T^FI  
FH-~X,"LV  
　　 4a=nC KQ  
{E~NV0 `Os  
其它公式 0+i!#yc   
3;'Kip|;w  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 0O* yp7?'  
NwF>{Bp~  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Kk"LLVSQ  
ALh~e{c  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 M} CpU{  
1M<P}l,  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 @L^?W}_`  
36OGhq!a  
　　对于任意非直角三角形,总有 cDbe H  
O)GX| u  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC a3D;c".#>  
&hv so$  
　　证: q^<*f2.6  
8 .o^02A  
　　A+B=π-C \dSie5b  
[~oO*$qD<=  
　　tan(A+B)=tan(π-C) {hwNvQ7%]  
RzN=>-%In  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) -(<mZgJH  
\2B*%O  
　　整理可得 VjPR`vI'  
k;'-%13|  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8Uq'Gt}  
BkU `B07P  
　　得证 goI_0"+  
J<wa~H~7  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 gXWS5qy/s  
F &&  
其他非重点三角函数 cA]%s?T  
t$%pP#KJlu  
　　csc(a) = 1/sin(a) E$)?%c[!  
5{Q+(  
　　sec(a) = 1/cos(a) cc{`?t\  
TbSbZ;>Q  
　　 h2:"V8Rf  
RJ]83y|  
双曲函数 %$>.Ak>H  
HRJ}!vgfZn  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ~IM{<&[S  
P?_}.}y0?(  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 8|4QY  
N[[q?z"2j>  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) BbcNjASht  
o/9eULufp  
　　公式一： ?<!`y /.  
=d 'R|nc  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： o3%%z ;j>  
@5GsFx 6  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 5`Y<Nz2w&  
2nwvz9-  
　　cos（2kπ＋α）= cosα t,D Lz3x=  
NSY#lk*VDu  
　　tan（kπ＋α）= tanα V RYApnt  
(Z2{wm 'A  
　　cot（kπ＋α）= cotα jNI-=7Txd{  
VqV!(.J%  
　　公式二： Asq5;f  
Ob3m'e}h  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： wU=c]P^/  
=Q9_~Wte  
　　sin（π＋α）= -sinα l4NH`{'j  
S(?BBG  
　　cos（π＋α）= -cosα Go-3_`m)  
os%)*GKEX  
　　tan（π＋α）= tanα _SNnNgZ  
8 Vtjv=hS  
　　cot（π＋α）= cotα L>f - q=  
@YVLg{nD  
　　公式三： T4IkL?  
lf[[`8~Q 5  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 2N EIAI3[  
peShj!  
　　sin（-α）= -sinα 5.s]B  
azq>y5l  
　　cos（-α）= cosα L($Uqjq  
m#[48*[9  
　　tan（-α）= -tanα Y|6gQ5  
du{:uO}  
　　cot（-α）= -cotα \JTP5i&P  
P0:!WL8b  
　　公式四： <(Rn7zS1R  
hPGz~l G^w  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Y^yCF4$|  
i|>{mMJ  
　　sin（π-α）= sinα Wlqbj6cIe  
R_<m;R1 u  
　　cos（π-α）= -cosα [>e6(twz 6  
{^6%K:cm`  
　　tan（π-α）= -tanα mqBkr{  
>MZ__;Yl  
　　cot（π-α）= -cotα aLU5c7R  
[~I,8[W ;  
　　公式五： g |D$S.s  
WoV^|;B  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： c8E5%FaV  
Woc w}N,  
　　sin（2π-α）= -sinα 9^wag!+J6  
Y0_faTF  
　　cos（2π-α）= cosα XI3(Td  
R Rw?C`  
　　tan（2π-α）= -tanα #$wa|]_r~v  
O]2p"{~  
　　cot（2π-α）= -cotα 6&t:0xV  
QL?2o  
　　公式六： $ltPtf}n(  
]:9r} X  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ]Sgi)g B8L  
!^_Wb"MkI  
　　sin（π/2+α）= cosα bW!l  
hnbPs<2AZ  
　　cos（π/2+α）= -sinα N2\_T]rHT  
g'f/k  
　　tan（π/2+α）= -cotα 'cxWa  
kDGY?"k= p  
　　cot（π/2+α）= -tanα &Ms@IJ%  
JX`Yuw51X  
　　sin（π/2-α）= cosα <j{lV*??V  
:p- LMg  
　　cos（π/2-α）= sinα `!<9VY>#C  
'&v1pL:td6  
　　tan（π/2-α）= cotα &W'+N,D  
x!l4E-0  
　　cot（π/2-α）= tanα #uKR g.LEO  
{&X+7 /  
　　sin（3π/2+α）= -cosα C yk,RJx^  
@$%lGMis3  
　　cos（3π/2+α）= sinα f:TZ:a5AI  
`d<PB zO  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ?]zb.cu l  
6:\A:6 x  
　　cot（3π/2+α）= -tanα h{.Nyb/  
M `IsSxU  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ]z |b3'j  
Wn+gQ%eU  
　　cos（3π/2-α）= -sinα rF02s[`?S  
!8-K.[  
　　tan（3π/2-α）= cotα ans!0)) A  
>^?(R7>y\  
　　cot（3π/2-α）= tanα =pBi3o>N  
^V`G_8>  
　　(以上k∈Z) ,P0>uO'M  
XBb<M3%%{  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 LW18Neh  
;,*:J*mv$  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = _Y7V E#wr  
\.M]\UnYG  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } '"=_%z3  
pk[y+Wz/  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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