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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 -!4fUV{4  
( T;F[1|  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %q }Q&$  
LQ& RKEI  
　　1、三角函数本质：  9MN8h{ Q  
-Diw&/d  
　　三角函数的本质来源于定义 zmXazom  
d68 2vVj  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 k%V:QL0m  
,.:d5y*z5  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ]w&, !e  
 S{;4L  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Q;tIFVgf  
R' xgFu(  
　　推导： v3:@<B-O2  
p JpL-:  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 r8Z2 =:V  
(n l*UG'E  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) n45Nx|  
2vQ2o>)BA  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) P3 N8e2  
 x;P -N  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 N&l($&  
8UcU[?1  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） \755tR  
Bk!>:<s)a  
　　[1] <U.=Xm?3.  
;:6 ]-  
　　两角和公式 Y7pQG<`{  
r@HQzvr  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ?eB|   
F&-r|m tT  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  r[L^CL9}  
^#`Z Mr  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB %IWd!r70  
G: km   
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 1$,|nl&te  
I2-S/\TM18  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) I,?=aV? `  
{K~qbA<mH  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) i5L*6uL!  
K)A xe ^[  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  a* Kgd>  
n5JB< !2V  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) jv%);^1IR  
DT\QHI_  
倍角公式 -aC6?.@C2Z  
p8b!r/<.:B  
　　Sin2A=2SinA•CosA X^0':s  
][9Fbjp  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 vl'*,l<  
n0$|-j:  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） d5 FW&O  
\c[GO2  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） OU`KzP=~  
$O=!^@e  
三倍角公式 nEN%kE8  
^s >R ?7l  
　　 :HwbGZiZ  
)`Lb6{f  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 34 bT.Qf!  
1<KIO[\s  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) nL#B#P$c  
)V~E[2if  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) |^E`]dJ>  
sZLg O>N  
三倍角公式推导 Ef"tj>N|  
M4 }KGLs  
　　sin3a A~ A7B3MM  
m {Cu[;"  
　　=sin(2a+a) <$zn<p  
A=|YfMH?  
　　=sin2acosa+cos2asina +1YR h]kK  
hus'rCm" B  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 8^Jw:v  
MA6Xvi  
　　=3sina-4sin³a e9Rl(GJB5  
J 2f& T^  
　　cos3a 5WRrKi  
``-$C=4O*  
　　=cos(2a+a) Q>h(O<U  
p2Z_.>6xE  
　　=cos2acosa-sin2asina vP5pA  
x$Ic~jRHVL  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa o`?K%&x4  
A@MFIxCR  
　　=4cos³a-3cosa m [C: k1  
1P#(#-7KW,  
　　sin3a=3sina-4sin³a ,K\xehT  
ZxzAbk2  
　　=4sina(3/4-sin²a) 10fa{A  
jwgO,'c.  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] v4bd`  
#>q) ]uQ  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) UEj0si1  
v^-"q{p  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) N9FO}=  
P RL&3^  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] R=teZk*0T  
u(Nz$=  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) +2-SY'H  
{k;TK;0fyi  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 81C$aLs  
eI?9g"~Rq)  
　　=4cosa(cos²a-3/4) xs6D;PHL  
dCTA.  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] q DUe&R  
Phv8]2dY1  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) JM7^'Qi!  
GXMT}3%{  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) |8: YJRw6  
Y_z#!  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} r1N JV{<`  
TjxERmB%  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) sn>`-  
7Co.9 %w  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Yw5=  
j-1i}^j'  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] b7L|< <Q  
t# z_geJ  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) )$  
 yA{c{u  
　　上述两式相比可得 mL\^hH>1_  
4 {{  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) & }.ISqK  
HFAg&bT  
半角公式 ixJe v  
|:^7+M3j  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); U5Z;0c8  
|&hm9f  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 5J{p_s2{V  
<SR <s_"_  
和差化积 LE f^`U/3  
n }a }< jx  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] JxSY?&$x   
aOii9yc7w  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] w*B=Cb  
;2/32*ANf  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 20SZWW{b  
m6OtSJV;$F  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $ LI%b|}  
:5a#A_T  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) bRr> ) Y6  
,}%-WI`(  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) TA8psi  
}lF42dgf=  
积化和差 Q 2_7>64  
:o]p4g  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] `4H@|XcDE  
2v# H   
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] #=*qg-H2  
L]S%qw  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] uxSkE3  
8bnO#a0d*P  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] l?FM':"  
v@J5s7f  
诱导公式 Z s2`p>  
6tT!SW5  
　　sin(-α) = -sinα S0 eMjV/  
#4AWUVgY  
　　cos(-α) = cosα $/`:IKc  
[QE;#  
　　sin(π/2-α) = cosα /Nv tG/  
Zo|'3B#   
　　cos(π/2-α) = sinα |1{fJ>l hp  
-)SY$_8h{  
　　sin(π/2+α) = cosα 5kmD  
| 7kKS  
　　cos(π/2+α) = -sinα [wT1dMaF(;  
^kEhuzO>B  
　　sin(π-α) = sinα /(t P~gt{%  
zElj<6C .c  
　　cos(π-α) = -cosα bGy[R#6_  
"{q-fpqN  
　　sin(π+α) = -sinα DmC$x;v  
yD"ARtc  
　　cos(π+α) = -cosα k"%A f\  
WP3GR:#  
　　tanA= sinA/cosA a9!+ /\H  
SrjQ^Zc|  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα + &vQO S%P  
D D~ekA  
　　tan（π/2－α）＝cotα JZ[;v_2#t  
{h2LC]  
　　tan（π－α）＝－tanα b}r*, h[  
ZGqE_qJ?]K  
　　tan（π＋α）＝tanα ),9hPp3S  
S&Z\L$R"  
万能公式 bTKC(^  
`EC0 P!  
　　 d[Y,X j7  
^Dg]0g,x  
其它公式 vLeG qO4&  
%4i't  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ligEq\t>=  
=>dr@]q.  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 a;.D)w  
H'9V[;Zm%  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ?PuVV)1%  
@aVvWA7t5  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ^6{\qCr}  
qd=Xa*  
　　对于任意非直角三角形,总有 ^\ u!#y|  
IhQ{ t0;*&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .6:A .Po}U  
dl!#* x  
　　证: rH3fiF0(  
lR4T17K  
　　A+B=π-C \ySX+$(=  
xQ4b*fIn  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Gt~WH\Iqb  
!U+xm^Mg  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) eJ',$lG  
'>`&&NU  
　　整理可得 $*> f+  
HfhC!:`#i  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC X~a T:@l  
+r<&=[v[0  
　　得证  ;9IN{1  
8TxJ9#V  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 BZJC%G  
nLmvku:  
其他非重点三角函数 8b&Y{x&  
5<\~ /;>  
　　csc(a) = 1/sin(a) 4[c0m@ }  
> p  
　　sec(a) = 1/cos(a) FyUs&dlG  
2 pf63*<L  
　　 3|z^wC\S  
lduS[  
双曲函数 )}}x~pB-  
vN~Uk>s"  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 W' )F"bv  
^mj]0y  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 4( \`_  
|Bh17X  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) >+H#haZ  
6< es2^  
　　公式一： '<'6P o  
`a+0/7FY  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： *#F7xC9pz  
;Q~=A9,`a\  
　　sin（2kπ＋α）= sinα DE?Q4p=  
YwzLQY]v  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Ns#8&gA  
6s[BJ2gdV  
　　tan（kπ＋α）= tanα _fVloa4  
xJ|oU!WG]  
　　cot（kπ＋α）= cotα :=A1+L )  
g(Hq:7a%  
　　公式二： .UDxVM;  
l&6V6I\  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 2ra_W_xe`  
QBZ9cg#3D  
　　sin（π＋α）= -sinα R7ECw~$4Z  
>sQ+Lw!  
　　cos（π＋α）= -cosα +30Hy<>jQ  
=q* M'Tp)k  
　　tan（π＋α）= tanα xNVBh2J  
I7B]e.Zc  
　　cot（π＋α）= cotα *q-& ^  
-Za6 Rb  
　　公式三： k[V)Vq;  
S#B'nbT5l  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： RO  n%wu  
InYJMf  
　　sin（-α）= -sinα $3kSZ=R5  
,09gp  
　　cos（-α）= cosα (r{btfZX#r  
OJhwG {e  
　　tan（-α）= -tanα g ZHZsk8  
j'DVX'zr  
　　cot（-α）= -cotα b(QLLDSO;  
tvnuZxLc{  
　　公式四： ;U<2JJd H  
g Qep\q  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Gmb4PNc  
:[ QPk  
　　sin（π-α）= sinα cP_ 5_7\  
^ so;t1BT  
　　cos（π-α）= -cosα F9mcEiV4C  
PX]3NxDu  
　　tan（π-α）= -tanα  GuQD^L2  
` !1CzAy  
　　cot（π-α）= -cotα H mq'Es  
9eTm}bW46  
　　公式五： D}6zXr#+o  
ovPgq02L  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： z]4hg ,  
&F h8 1$[  
　　sin（2π-α）= -sinα ya\6r>F  
i;&\B*$2  
　　cos（2π-α）= cosα *3[V~$k  
0t{( W4b  
　　tan（2π-α）= -tanα j-5vG,]  
} 7`7E  
　　cot（2π-α）= -cotα [Wds6-[o  
(liVZ  
　　公式六： >ooA6fU  
&&}<N  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： }kXo=l#(2  
fU*TU m  
　　sin（π/2+α）= cosα g 48 of.2  
>&E>ei t  
　　cos（π/2+α）= -sinα #Yl$R&rA  
%N|jA[  
　　tan（π/2+α）= -cotα */\9^]5{GZ  
R- n]8  
　　cot（π/2+α）= -tanα (nxZ=E`n  
'ER}L3  
　　sin（π/2-α）= cosα +Owx+Xe g  
H,]PC&ta  
　　cos（π/2-α）= sinα cu{ 4<G  
e\C)7G  
　　tan（π/2-α）= cotα ClPk  
o?=tm?FV  
　　cot（π/2-α）= tanα $W=K5"Q !  
ogf[QRy=n  
　　sin（3π/2+α）= -cosα QUCj '  
`Yxp=t[ [  
　　cos（3π/2+α）= sinα y);3YYI  
i0q4|SF$  
　　tan（3π/2+α）= -cotα sk1Q~?H  
AgubAwal4  
　　cot（3π/2+α）= -tanα M_%+{z)z  
H,72e|(}  
　　sin（3π/2-α）= -cosα H3K>T/  
<{!]Cf  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Y:AB }a  
*=fj*Dw  
　　tan（3π/2-α）= cotα +LghSAX  
 cjj2C\n  
　　cot（3π/2-α）= tanα 4|MZmIG  
AhE19OCpd  
　　(以上k∈Z) LSMc`S^-  
EZ#+o"l}  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 [_r ,SR  
[V.JMks&  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = qYANYzq  
{p A`u  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } W+u4Q!SL  
C@:FJ5W  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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