日历

2025 - 1
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 
«» 2025 - 1 «»

存 档

日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 CHcZ{X7  
7Wb q&z  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. -KaD]ij'T  
e 5Gtix[y  
  1、三角函数本质: Tvw(7#& Rb  
+v<1L v)  
  三角函数的本质来源于定义 kUD4sEnaw  
J`!:8JwS  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Z h YnEm}  
S3hf; C  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 GNf o0  
zHz} LA  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: lm7gMfM`  
x8ST8#kx  
  推导: n{2 HK0G  
-A-U- 6gm  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 yZI#MPQo8  
x@'1E#hJk  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))  |Zj0U~9  
8 ]V, \M  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) WcCFH c_  
H3Z. T1  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 t!ST9U  
mNyqn a?t  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) l)py{$RXff  
sub{?!DhY  
  [1] aP;,btp@  
> l-)5B>>  
  两角和公式 G1 te"Y#G  
oC^4C <pP  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB /~2< ),t  
0 -ZvT2  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  PJ[8;G Y  
0u|eB|4!4I  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB :b|/'  
m,\7 Ud  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB "`}iy&wl$T  
`-|h(/J]  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) xiQwq *  
FKRmGEcm  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) UHU4N SF|  
Yeq l#?I  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  XzfZj^  
| .9+:B  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) v fn9NSY  
4Xhk |l7?  
倍角公式 uYrh&B0;  
>lj '{?x  
  Sin2A=2SinA•CosA Y inG/cDK  
3cla-%W3<  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 NWjGvJ-F  
dhU/c m  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) {iDi<zM  
guJ7?u/`  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) N$YG]uJ  
/zIW97WO  
三倍角公式 ;]&#;`RIi  
|KaDt>~`{>  
   [U}Jk`  
['arW05(  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) /g X\D~0  
E,( AL%  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Pz0X^;<Bv  
G4Y\ /g  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) kdIE<W-'  
<4cOcSyN  
三倍角公式推导 ;R Mq[ 2  
> 7kYjP8B  
  sin3a sw$; J  
Eesz&}rG  
  =sin(2a+a) n?b3af@$E  
FngR'c'  
  =sin2acosa+cos2asina b7{4w'  
b3B-s$ ZO  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina umrKMS  
ChTB|NN=  
  =3sina-4sin³a JAfsH?U7G  
B|n#hA9Bj  
  cos3a 0K)zvY  
LNjGGZ=kE  
  =cos(2a+a) 3QEX a}/gx  
Dha%\%sN (  
  =cos2acosa-sin2asina #: }weWW  
SrK&lS4G  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa )5!JI  
i9]9`dS:  
  =4cos³a-3cosa 3P*j_}!@  
\sC,c d V  
  sin3a=3sina-4sin³a 9,rThbI  
Wb},S  
  =4sina(3/4-sin²a) Bs=i*gTj  
pw,+B6d  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] *IoZ|bVV0  
T?-=9R_  
  =4sina(sin²60°-sin²a) MU|t3W8;'  
Cz @D(](  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) zRN>rc.k  
N$h2a-d  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ,:_2.C]A  
l0y$0Y0@S  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) WabQ@8  
Q=+<T N@XR  
  cos3a=4cos³a-3cosa @~Y( 4dAB  
( v0RgJL  
  =4cosa(cos²a-3/4) =-:P J  
dk"x]`O7G  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] AdDa?5r@  
m<ty{!  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) 0TF_Dt"  
)Z<dZ;-R"  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) #=A.zF~4  
e7-^w@  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} G3k"Lzjms  
gS lWc%x  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) \.6"?=E?  
=*g Fz0  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] WcRey<f&  
^(eG;& Y!  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] &gA< YLD  
qPW^,  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) #arYDe  
qhAqP0Mr  
  上述两式相比可得 Dk A-  
37FsyM  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) &&>h8+s  
>XZIw(G7  
半角公式 @(N<C7wh  
I2)17u  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 5W.G(IK  
(O4"AkO1  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. NsFyh BY|G  
"&;O>Cn  
和差化积 e0'BPcwE  
!H 9#,  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Hn9lm4[Z  
;Qxn%~  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] CTZAq  
wC%-=)#n  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W.H=d)  
k@VxKkka  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ];;\l^  
(p+>Jl'J  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ;.{" 1q  
z{8VHKN  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)  FnuZ)c  
l 0r3p}n,  
积化和差 [OR^m9^!<  
;"]GPD0  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 00i8N.6X  
Mg&r$X\i  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] $6^z *qIK  
i=&r>j8o  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] <yU Z  r  
axRY',0Y  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] E9d`un  
|mp_Pmvbx  
诱导公式 @}YR2A'  
?<rYCDnTP  
  sin(-α) = -sinα `/ O%]9  
t|r@#|  
  cos(-α) = cosα (F.x`GL#  
%:, a  
  sin(π/2-α) = cosα )k ]We-Y  
|g}3-LY  
  cos(π/2-α) = sinα v|xax  
?(; GT.Sd  
  sin(π/2+α) = cosα "thF[6  
omSR=n  
  cos(π/2+α) = -sinα )z<o0>VS  
>Uy}T_%]  
  sin(π-α) = sinα yqUV\'%  
qE9,_5Jh  
  cos(π-α) = -cosα K{Mjv'_|  
y^<$QN0NI$  
  sin(π+α) = -sinα  .ty}}m  
WI'dgCd-;  
  cos(π+α) = -cosα R;~rZ?2'(P  
 0#Pl0i  
  tanA= sinA/cosA L-9QgYs  
V=)x;Tyt  
  tan(π/2+α)=-cotα M5DdKr_Y8  
DEyH !9  
  tan(π/2-α)=cotα tL0)/r#  
HnQnq  
  tan(π-α)=-tanα tR^-@r%Z`>  
g@|NB\'  
  tan(π+α)=tanα "pbNv5L D  
AT_4  
万能公式 l&&\Hny ?  
V#qNRCQ1  
   EP+XT  
lnYUC%dY'  
其它公式 `Bt9Ru  
%Rw$CjL@w%  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 {mKs{e#P  
i`    
  1+(tanα)^2=(secα)^2 ruB4 Iz  
;LQ1*82  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 f?:s~nE  
z[A5$GY  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 yUmbro  
+VaS/Is  
  对于任意非直角三角形,总有 :/Eq*  
pGlRU7  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 28:+b(+WO  
P >>6`T"OO  
  证: pP(gWtM  
=eQ3cuS{  
  A+B=π-C GK4>Ru1>  
O9r[!j5  
  tan(A+B)=tan(π-C) zWKuxQt9I  
LXr"p]<G:  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) rd ,1 ~3!  
3vKaC'b  
  整理可得 V!KBP;>  
yD1j7F4Q  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC dQJz7Di4L  
>6c1NUHl  
  得证 `/Re2N"  
toB--  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 1 pR-?-N  
 v_(d^Mx  
其他非重点三角函数 $j5 r:  
g+h>bOp|  
  csc(a) = 1/sin(a) X:pCG4f  
Sw=k{ e2  
  sec(a) = 1/cos(a) gt;$w 6}M  
pQ>fb}  
   7LEi{^)  
JL;n+;Z  
双曲函数 w+0h\/  
3 f`h82  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 dl~bEgvE  
w}.J\w}  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 mA)mbnB @  
ZN#&R!*4  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) EdKQ:nA  
!Zl?P2U$  
  公式一: ..tK<#&K  
qS/BnZBVG  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: Tm'?>Z8  
lCzy^}]  
  sin(2kπ+α)= sinα u^,X2;+  
VQ@/|z  
  cos(2kπ+α)= cosα Q^ [HkIB  
860FVif  
  tan(kπ+α)= tanα ,"(ZZ|zl  
<W(@WpL  
  cot(kπ+α)= cotα .+Q =G%r  
<So~B a  
  公式二: ,:+Og.W  
S x-4*'@  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: w.ex<1|  
&-q'S Xzg  
  sin(π+α)= -sinα *< $r\  
*-;y.'  
  cos(π+α)= -cosα @SV<!G0  
4@I"+#6o7X  
  tan(π+α)= tanα }(;LcrO\  
1*>fW!Y  
  cot(π+α)= cotα  3F?)kLk  
W% Sw Sz  
  公式三: Mj|<xl=H"b  
^oidG/`  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: j~>:e  
iCO"]Epf  
  sin(-α)= -sinα :i=cFA  
g:P l^Z  
  cos(-α)= cosα Y=Up[q`S  
P"5EZ)W  
  tan(-α)= -tanα #m9(GZY  
>!0 P +o#u  
  cot(-α)= -cotα Tx`F5  
+gOoe1fI|  
  公式四: ABg>K,I%  
ZDzyjK   
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: }Y9rEb?KG  
,`'*_5i  
  sin(π-α)= sinα Z^llL< P{  
s?9ttD33  
  cos(π-α)= -cosα L RCYgS]k  
wu3<M2+9  
  tan(π-α)= -tanα 1[]}qHi={  
&^9&]|Seb  
  cot(π-α)= -cotα 6>x 8Rc`Q  
+RB;Wo=f;  
  公式五: Q!DKDQHrqD  
[~:"Z\6+?  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ZBC0`d  
$,`wbEam  
  sin(2π-α)= -sinα f!)OnMk  
UbU2L!  
  cos(2π-α)= cosα iH``Iig  
#d:5}+*/  
  tan(2π-α)= -tanα MsTCA~#N9  
7Ai|AIP0,  
  cot(2π-α)= -cotα 9>uadS<@V  
im02" h-l  
  公式六: R;xq5fl  
)&wH7^Hv  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: =Yc?L~^dT;  
?} T_Lmry  
  sin(π/2+α)= cosα 6Qi=!TUuk  
|:8K `4g  
  cos(π/2+α)= -sinα MCrWmh x  
gi^"Ib*=%M  
  tan(π/2+α)= -cotα nZ1+B_  
 i%`\+[D  
  cot(π/2+α)= -tanα Af<| Am  
WAe4*(f  
  sin(π/2-α)= cosα Er/:Dn^~t  
M&%3Wr.B  
  cos(π/2-α)= sinα &m<?W!vw@  
ElFP.BDk:  
  tan(π/2-α)= cotα \mLjL  
w'A"W  
  cot(π/2-α)= tanα v#uL,! j  
)U\_DDnA  
  sin(3π/2+α)= -cosα -b2"mCU,M  
T:r<Z%T9  
  cos(3π/2+α)= sinα 2^gMF1  
.?^k=V|  
  tan(3π/2+α)= -cotα \7+*7S#uvP  
)>p 8D 3  
  cot(3π/2+α)= -tanα TXIwkFcf  
/d /z2`P  
  sin(3π/2-α)= -cosα O-{$Y7'3-  
zc#f;HFO  
  cos(3π/2-α)= -sinα m<8Q;GW  
+IPmoSwh!  
  tan(3π/2-α)= cotα ^Nbo Q0*  
YWA(e  
  cot(3π/2-α)= tanα JY$1;q*v  
/A#onk  
  (以上k∈Z) ?-htTS,.  
9\8V0  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 uek\7uC  
9?/jSdQb  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = :q%#z#  
X- *OfV>d  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } t.9,zW#9.d  
$w:W^y8N  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
类别: 收藏 |  评论(0) |  浏览(15331) |  收藏