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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 KA'] O@  
Hc*F~H#n  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. , ,|Ph=C  
o^tzB'%VbL  
　　1、三角函数本质： `#BKl=+G_  
J(oIs"Z+  
　　三角函数的本质来源于定义 bK@( N8  
'";)\  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 < rWt^  
Y%N:M<\~  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 K{kb6RG  
4[irLi?J  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： o:F ?K  
__?Dyxh  
　　推导： 7-liH{V  
||z,Iz!  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 LMhm gp@$_  
HiyO;W}7G  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) @( )Q-)n5  
8z'z]Pi&  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) acb+b\A   
ZS*f>DHx{  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 rV{{+qIc  
h;C.f.5(  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） .( K8jAW  
H_6a8G=  
　　[1] B4sp0K6{Q  
0xo[i|lYY  
　　两角和公式 {P=c'S  
^T17,\TK'@  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Va=%6glAF2  
g,n(!B$;{  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  %0HHaF  
U,a&=J(hM  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Vw/mM w:  
E{i6:`O6  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Kyx0Nv'  
p@jcTQS  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) `t-lt:Q*d  
b(#mj?D  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) b< qbN^&7G  
Aar _ n^  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  o;)d\c&  
Y9u^" v[b  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) &4ZvIS  
PZo8-vqD  
倍角公式 %.QvUosk  
D:5rhcLu  
　　Sin2A=2SinA•CosA }m,FMS2h  
A8q" ?,  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1  Zj^mR"G  
c5Gh|>+J,{  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） `i]m\\  
$i6F \/|#f  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） L]FD9lv  
grlH&g/  
三倍角公式 bFdkYvR  
"1baS YC  
　　 6QO4s~  
'24SWa/$Y  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ;5qFl a +  
e}E}q4-  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) CH: ;`eJ  
y=_vzg0<h  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) "m0_Uf8?  
Tz\x sVL  
三倍角公式推导 p#fvJw"  
C=eps/  
　　sin3a :Z%cP2!F  
-&fR3U!f  
　　=sin(2a+a) Y,rh^xfp35  
RZRy7~!"0  
　　=sin2acosa+cos2asina fL=}pK'u  
_3K [?^q  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina %e\)~=|oE  
GA83T9Y?  
　　=3sina-4sin³a hf j hp  
_RfAO&W.  
　　cos3a 'Zp(<|k"  
f^W%wDj  
　　=cos(2a+a) POC`[nOj  
9Kfz`:.\-  
　　=cos2acosa-sin2asina r[ eg:  
Q[::+{   
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 8&h|4NS1  
T 1K_Gd  
　　=4cos³a-3cosa ^vpU( SW  
MPQ*C[>  
　　sin3a=3sina-4sin³a JqN<+]fo  
-f kZ[Cr`r  
　　=4sina(3/4-sin²a) \) 5AI -rN  
ePC/m331Wg  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] he1bZ1  
'cu~$8  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) }e_k@i+R  
"TmC`P2  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) },7! '  
e,\Mx&yTx  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] s, s81*  
N#'7&9!K  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 3fvd &>s  
YZV&5  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ES"pM0  
<P}yH+  
　　=4cosa(cos²a-3/4) l]~l*vJ0  
quPg(l7y  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] =Q?a(>X6  
&'9lA~7(N  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ,c8#'8S<CH  
5ka]Ha  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) %$,T RFG  
qoyRq'ZP  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Z8F7#)  
g]o: a2  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ">I(2x{[7  
-$9^+Q4,  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] g09Ind  
Bc_gxuYX'  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] h3ihBvH  
wg_yh  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) )!\;nU;8k  
1-*(q*A ne  
　　上述两式相比可得 &S7tu8 oO  
CA]YJ]]  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 8)rQ5?  
XshVB ((r  
半角公式 ; X{p[{@v  
< jU :o]  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); t%6Cyv3  
kkcN(vZUz  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *@{9_C  
v~JYP0  
和差化积 ,8_=O<r$  
g`a< 0|  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3L @^"F=  
]UamtE^A#  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9l?"MEC  
B>,Rka]B  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] e |s   
KdN"OR@-  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &2mH8*N ;  
xS<Ilr  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) (zQO4y 6y  
14lX1R%  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) >y.#V^?  
;4.+Wv  
积化和差 g0al3@"  
6~<?=;  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] M;C%e3p  
xs!d B%GI4  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] -ln0pL;'  
<MXb;=|  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Ax w8}jg`  
qUM=Iz(`  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Qnm?&FAk9  
mrs<  
诱导公式 &cd Pg 8*,  
#) O!>5  
　　sin(-α) = -sinα '$^ %%BDp  
g%.0c`>4\z  
　　cos(-α) = cosα 1MHFiyGzI  
M8PD!gH&w*  
　　sin(π/2-α) = cosα Ycu1]  
n|a"05  
　　cos(π/2-α) = sinα ?AZi6LkVYl  
fIY%'Y3|  
　　sin(π/2+α) = cosα <`-B'>1  
o>IyWx4v  
　　cos(π/2+α) = -sinα r' iL!#!  
3"6bM0  
　　sin(π-α) = sinα <Ieq<OHt  
Q}yd5d<8  
　　cos(π-α) = -cosα yG1S ?Ea^  
ja|~@qw  
　　sin(π+α) = -sinα W[4[9Ffw  
e[pEelZ|  
　　cos(π+α) = -cosα Y?_~@N3_  
|M/K2RH#lT  
　　tanA= sinA/cosA pz%.fmEb.i  
Fx,-;jd^J  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Mynu 9-n  
DQg`6cNJ/  
　　tan（π/2－α）＝cotα IRhYd/.  
bRb^:e  
　　tan（π－α）＝－tanα Mj9wX!^U  
&%*4Mq  
　　tan（π＋α）＝tanα :G.3BBh  
&t(=$#C@c  
万能公式 ~Ei&g%Z  
ivi]Zq3:Kt  
　　 9>A1Zu5h  
S*@M  
其它公式 qx I$e  
"2U]k,<[A  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 2$5" *byTu  
HAr3iH.XJ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 H}]-=VSq[  
r,"5cGE  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 VGf(sNw7$R  
WA r  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 %#UC>O>P  
Ad".Asb>r  
　　对于任意非直角三角形,总有 5@rAFrR  
&@Z3Ey;  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC eD7Av</  
uun%fSeMe  
　　证: owm,3=G!E  
J= 12HwE  
　　A+B=π-C <EZ@kl?  
&z|4,bP  
　　tan(A+B)=tan(π-C) )teMrT@H\o  
]ifx c2w  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ct"LL0  
b"V0KU_d  
　　整理可得 -cPY  
*J><MP#6  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC zh?h np5  
:"(U{QZC:  
　　得证 c[D+WM+  
$y8)QS>0.  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 0[ 49o30  
!~{de -I  
其他非重点三角函数 Y(;jKR3<  
IkI"v"=%  
　　csc(a) = 1/sin(a) lWwrQ *"  
P[eB<B@j  
　　sec(a) = 1/cos(a) bac8}\V  
$od-mY i  
　　 929KF=Yg@  
1`_Y0/-8"  
双曲函数 f=4[ aW8  
4$"d1 @s  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 a@f+ q'dP  
 %{=R*/  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ]nBYH`  
S[4qY#7  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Z~zSiM`  
 ^({k;!c  
　　公式一：  z\Cu`x  
TO<W X~  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： \OgG g  
1U]'`8^{  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 73 L}w[@0  
*We.I"5  
　　cos（2kπ＋α）= cosα w _&tIH\,V  
kH4""n1!  
　　tan（kπ＋α）= tanα $"j,{i!+a  
tkj}(>+  
　　cot（kπ＋α）= cotα A@wON"&A  
~9MYftXS  
　　公式二： fD*N&w|z  
Mfk#h *g3  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：  E!52loF  
 |tL sCFW  
　　sin（π＋α）= -sinα GVLO)a,s  
%;/?*AgHu  
　　cos（π＋α）= -cosα iedsZd  
v8ZsaGgh  
　　tan（π＋α）= tanα Id2Sh%+_%f  
R 4=$8A}  
　　cot（π＋α）= cotα m_}&E qFAd  
g6MjnK}Js  
　　公式三： JUB{u=U  
tEn tCS  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： w;,!|0N  
>yEhs@nM  
　　sin（-α）= -sinα Aq A*H#-A  
Ok%p{fX\R  
　　cos（-α）= cosα Xl#%*:BFNu  
sD'coO~2  
　　tan（-α）= -tanα /Z K$C,*N  
k xAO5`49=  
　　cot（-α）= -cotα QvNAW{ h  
kbt}i)Pd   
　　公式四： O_+D[mr)q  
onZ6=F  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： q} (:5)<  
[Ihm|&W  
　　sin（π-α）= sinα j=X. ;]  
^u9:C.hwJ  
　　cos（π-α）= -cosα |&v1Cq3  
'mnw *P2@c  
　　tan（π-α）= -tanα >|\|%?mGp.  
PhT6X^sfmE  
　　cot（π-α）= -cotα KmA@|0~  
>*@rIGF  
　　公式五： gG !~ G  
Nz'V[$ui  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ?$=g!|  
| f *7~4  
　　sin（2π-α）= -sinα H@DC& C  
59@Z?|ps  
　　cos（2π-α）= cosα Dl71oHQ  
_uHa8OZ  
　　tan（2π-α）= -tanα ,)G2dS ~  
)X2)-Df[  
　　cot（2π-α）= -cotα tg#5 9bn  
M+zD~nTG  
　　公式六： )FsZ:|{Jr  
:jodaV]'s  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Yh(wy!  
4: X^Y!  
　　sin（π/2+α）= cosα [oHQ9r:s  
8HIlz[#X  
　　cos（π/2+α）= -sinα J;#UqBQ?$3  
V M zb7  
　　tan（π/2+α）= -cotα -_C`c64/  
p[* 8DPtQ  
　　cot（π/2+α）= -tanα A4\j|)3aV^  
jrOAUd  
　　sin（π/2-α）= cosα ZO/&K  A  
om:e]-I/  
　　cos（π/2-α）= sinα 3^dt_b  
*e7NRX{  
　　tan（π/2-α）= cotα ,z2UZ\\  
(l!  x~;C  
　　cot（π/2-α）= tanα *#'% Z6!  
$ZDh2zO;w  
　　sin（3π/2+α）= -cosα fD"C: Oc  
f}cm^bP  
　　cos（3π/2+α）= sinα D[|h%oP]  
.^r."1X  
　　tan（3π/2+α）= -cotα :dI/DYLi)  
/AF{  
　　cot（3π/2+α）= -tanα o-z`./  
?cE.Q?kc  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ct1 * W  
ggH?OSZ  
　　cos（3π/2-α）= -sinα V~)2VCF`  
8| ETzQ  
　　tan（3π/2-α）= cotα C2^9e-A/g  
jJ>$4ER  
　　cot（3π/2-α）= tanα Wol{='  
298 B/R  
　　(以上k∈Z) -(iVTv6Y  
pCgp0@T  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 9eqPi Vsg,  
P7M(y-,8  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = }D:h`  
xriSY]u  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Cv:F.u/  
doj7,xAf  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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