三角函数内容规律 CHcZ{X7
7Wb q&z
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. -KaD]ij'T
e 5Gtix[y
1、三角函数本质: Tvw(7#&
Rb
+v<1Lv)
三角函数的本质来源于定义 kUD4sEnaw
J`!:8JwS
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ZhYnEm}
S3hf;C
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 GNf
o0
zHz} LA
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: lm7gMfM`
x8ST8#kx
推导: n{2HK0G
-A-U-6gm
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 yZI#MPQo8
x@'1E#hJk
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) |Zj0U~9
8 ]V, \M
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) WcCFHc_
H3Z.
T1
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 t!ST9U
mNyqna?t
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) l)py{$RXff
sub{?!DhY
[1] aP;,btp@
> l-)5B>>
两角和公式 G1te"Y#G
oC^4C <pP
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB /~2< ),t
0-ZvT2
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB PJ[8;G
Y
0u|eB|4!4I
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB :b|/'
m,\7Ud
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB "`}iy&wl$T
`-|h(/J]
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) xiQwq
*
FKRmGEcm
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) UHU4NSF|
Yeq
l#?I
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) XzfZj^
|
.9 +:B
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) v
fn9NSY
4Xhk|l7?
倍角公式 uYrh&B0;
>lj '{?x
Sin2A=2SinA•CosA Y inG/cDK
3cla-%W3<
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 NWjGvJ-F
dhU/c m
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) {iDi<zM
guJ7?u/`
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) N$YG]uJ
/zIW97WO
三倍角公式 ;]`RIi
|KaDt>~`{>
[U}Jk`
['arW05(
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) /g
X\D~0
E,( AL%
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Pz0X^;<Bv
G4Y\ /g
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) kdIE<W-'
<4cOcSyN
三倍角公式推导 ;R
Mq[ 2
> 7kYjP8B
sin3a sw$;J
Eesz&}rG
=sin(2a+a) n?b3af@$E
FngR'c'
=sin2acosa+cos2asina b7{4w'
b3B-s$ ZO
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina umrKM S
ChTB|NN=
=3sina-4sin³a JAfsH?U7G
B|n#hA9Bj
cos3a 0K)zvY
LNjGGZ=kE
=cos(2a+a) 3QEXa}/gx
Dha%\%sN (
=cos2acosa-sin2asina #:
}weWW
SrK&lS4G
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa )5!JI
i9]9`dS:
=4cos³a-3cosa 3P*j_ }!@
\sC,cd
V
sin3a=3sina-4sin³a 9,rThbI
Wb}, S
=4sina(3/4-sin²a) Bs=i*gTj
pw,+B6d
=4sina[(√3/2)²-sin²a] *IoZ|bVV0
T?-= 9R_
=4sina(sin²60°-sin²a) MU|t3W8;'
Cz
@D(] (
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) zRN>rc.k
N$h2a-d
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ,: _2.C]A
l0y$0Y0@S
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) WabQ@8
Q=+<TN@XR
cos3a=4cos³a-3cosa @~Y(4dAB
(v0R gJL
=4cosa(cos²a-3/4) =-:P J
dk"x]`O7G
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] AdDa?5r@
m<ty{!
=4cosa(cos²a-cos²30°) 0TF_Dt"
)Z<dZ;-R"
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) #=A.zF~4
e7-^w@
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} G3k"Lzjms
gSlWc%x
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) \.6"?=E?
=*gFz0
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] WcRey<f&
^(eG;&Y!
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] &gA<YLD
qPW^,
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) #arY De
qhAqP0Mr
上述两式相比可得 Dk
A-
37FsyM
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) &&>h8+s
>XZIw(G7
半角公式 @(N<C7wh
I2)17u
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 5W.G(IK
(O4"AkO1
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. NsFyh
BY|G
"&;O>Cn
和差化积 e0 'BPcwE
!H9#,
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Hn9lm4[Z
;Qxn%~
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] CTZAq
wC%-=)#n
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W.H=d)
k@VxKkka
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ];;\ l^
(p+>Jl'J
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ;.{" 1q
z{8VHKN
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
FnuZ)c
l
0r3p}n,
积化和差 [OR^m9^!<
;"]GPD0
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 00i8N.6X
Mg&r$X\i
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] $6^z *qIK
i=&r>j8o
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] <yUZ r
axRY',0Y
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] E9d`un
|mp_Pmvbx
诱导公式 @ }YR2 A'
?<rYCDnTP
sin(-α) = -sinα `/
O%]9
t|r@#|
cos(-α) = cosα (F.x`GL#
%:,a
sin(π/2-α) = cosα )k]We-Y
|g}3-LY
cos(π/2-α) = sinα v|xax
?(; GT.Sd
sin(π/2+α) = cosα "thF[6
omSR=n
cos(π/2+α) = -sinα )z<o0>VS
>Uy}T_%]
sin(π-α) = sinα yqUV\'%
qE9,_5Jh
cos(π-α) = -cosα K {Mjv'_|
y^<$QN0NI$
sin(π+α) = -sinα
.ty}} m
WI'dgCd-;
cos(π+α) = -cosα R;~rZ?2'(P
0#Pl0i
tanA= sinA/cosA L-9QgYs
V=)x;Tyt
tan(π/2+α)=-cotα M5DdKr_Y8
DEyH !9
tan(π/2-α)=cotα tL0)/r#
HnQnq
tan(π-α)=-tanα tR^-@r%Z`>
g@|NB\'
tan(π+α)=tanα "pbNv5LD
AT_ 4
万能公式 l&&\Hny
?
V#qNRCQ1
EP+XT
lnYUC%dY'
其它公式 `Bt9Ru
%Rw$CjL@w%
(sinα)^2+(cosα)^2=1 {mKs{e#P
i`
1+(tanα)^2=(secα)^2 ruB4 Iz
;LQ1*82
1+(cotα)^2=(cscα)^2 f?:s~nE
z[A5$GY
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 yUmbro
+VaS/Is
对于任意非直角三角形,总有
:/Eq*
pGlRU7
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 28:+b(+WO
P>>6`T"OO
证: pP(gWtM
=eQ3cu S{
A+B=π-C GK4>Ru1>
O9r[!j5
tan(A+B)=tan(π-C) zWKuxQt9I
LXr"p]<G:
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) rd
,1
~3!
3vKaC'b
整理可得 V!KBP;>
yD1j7F4Q
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC dQJz7Di4L
>6c1NUHl
得证 `/Re2N"
toB--
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 1
pR-?-N
v_(d^Mx
其他非重点三角函数 $j5r:
g+h>bOp|
csc(a) = 1/sin(a) X:pCG4f
Sw=k{e2
sec(a) = 1/cos(a) gt;$w
6}M
pQ>fb}
7LEi{^)
JL;n+;Z
双曲函数 w+0h\/
3 f`h82
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 dl~bEgvE
w}.J\w}
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 mA)mbnB
@
ZN#&R!*4
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) EdKQ:nA
!Zl?P2U$
公式一: ..tK<#&K
qS/BnZBVG
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: Tm'?>Z8
lCzy^}]
sin(2kπ+α)= sinα
u^,X2;+
VQ@/|z
cos(2kπ+α)= cosα Q^[HkIB
860FVif
tan(kπ+α)= tanα ,"(ZZ|zl
<W(@WpL
cot(kπ+α)= cotα .+Q
=G%r
<So~Ba
公式二: ,:+Og.W
S x-4*'@
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: w.ex<1|
&-q'S
Xzg
sin(π+α)= -sinα *<$r\
*-;y.'
cos(π+α)= -cosα @SV<!G0
4@I"+#6o7X
tan(π+α)= tanα }(;LcrO\
1*>fW!Y
cot(π+α)= cotα 3F?)kLk
W%Sw
Sz
公式三: Mj|<xl=H"b
^oidG/`
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: j~>:e
iC O"]Epf
sin(-α)= -sinα :i=cFA
g:Pl^Z
cos(-α)= cosα Y=Up[q`S
P"5EZ)W
tan(-α)= -tanα #m9(GZY
>!0
P
+o#u
cot(-α)= -cotα Tx`F5
+gOoe1fI|
公式四: ABg>K,I%
ZDzyjK
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: }Y9rEb?KG
,`'*_5i
sin(π-α)= sinα Z^llL<
P{
s?9ttD33
cos(π-α)= -cosα LRCYgS]k
wu3<M2+9
tan(π-α)= -tanα 1[]}qHi={
&^9&]|Seb
cot(π-α)= -cotα 6>x8Rc`Q
+RB;Wo=f;
公式五: Q!DKDQHrqD
[~:"Z\6+?
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ZBC0`d
$,`wbEam
sin(2π-α)= -sinα f!)OnMk
UbU2L!
cos(2π-α)= cosα iH``Iig
#d:5}+*/
tan(2π-α)= -tanα MsTCA~#N9
7Ai|AIP0,
cot(2π-α)= -cotα 9>uadS<@V
im02"
h-l
公式六: R;xq5fl
)&wH7^Hv
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: =Yc?L~^dT;
?}
T_Lmry
sin(π/2+α)= cosα 6Qi=!TUuk
|:8K`4g
cos(π/2+α)= -sinα MCrWmh x
gi^"Ib*=%M
tan(π/2+α)= -cotα nZ1+B_
i%`\+[D
cot(π/2+α)= -tanα Af<|
Am
WAe4*(f
sin(π/2-α)= cosα Er/:Dn^~t
M&%3Wr.B
cos(π/2-α)= sinα &m<?W!vw@
ElFP.BDk:
tan(π/2-α)= cotα
\mLjL
w'A"W
cot(π/2-α)= tanα v#uL,! j
)U\_DDnA
sin(3π/2+α)= -cosα -b2"mCU,M
T:r<Z%T 9
cos(3π/2+α)= sinα
2^gMF1
.?^k=V|
tan(3π/2+α)= -cotα \7+*7S#uvP
)>p8D3
cot(3π/2+α)= -tanα TXIwkFcf
/d
/z2`P
sin(3π/2-α)= -cosα O-{$Y7'3-
zc#f;HFO
cos(3π/2-α)= -sinα m< |