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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 *?3Nzr>!  
? $R_%Pr  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. s!KFXo9-  
iPD+vq>Z  
　　1、三角函数本质： =Kg_-qNc!  
"ciuibtRTy  
　　三角函数的本质来源于定义 \(@{h|1  
nwWd&>6?-  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 3;)C[(]$R  
(oO!JTO9o  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 OLH=m,X6%  
$B7.<%  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： S |8i 2m:  
#J^,\'Ew>  
　　推导： kijHEIW  
tW'XqF%  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 rWfI(f5{  
7z!F ;=!U  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) v.,'+fam  
 ~&5{  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) bY7:yo  
$?mcFf%hc  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 L s^agv  
K65~^Rrg:  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） p db q  
ovMv~M#,1  
　　[1] D +Em  
/;VKcj\F  
　　两角和公式 ^=X'"Ddl  
lT%|yn|V<  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB [l-ja$"#:  
`2cvz|lj\  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  &"K ]W  
QUAjY ndN  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB fr++Z2z  
obR,XIOT  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Ddy';|aH6  
l!WQt6%e  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) '3 _8  
MPxt7g*"  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) R0,)%*FUH  
vnLLJY|  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ./h8ps[   
*zE{Do  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) m~nGbf]s=  
#b"]o4  
倍角公式 ?A( Bv  
1-%JZ4e/3  
　　Sin2A=2SinA•CosA vhzOFf$[  
O1Lh=~56I  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 C}=[prp  
v\k,b4gGD  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 7YJ; uCL  
(k <,sJx  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） .c}!@zO?x  
L&,{mKP  
三倍角公式 E|>l \  
&nxiEo '  
　　 `[N~I  
>0f?V!p9  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) g `Z~  
kGm\8U:[%!  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) D2J{@P,  
f^z4M0%:  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ,c/8'Ggx  
EJ LLTa>E  
三倍角公式推导 uV5xoT    
KNyy8V  
　　sin3a +C7!6UT  
r5A#Tq7bd  
　　=sin(2a+a) P7nVh^ p;  
#g|gdF;  
　　=sin2acosa+cos2asina {5Ll7mfz  
`_ FQM&}n  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina dfrT;$S]  
M4xZ*eK  
　　=3sina-4sin³a @9LDFf#)q  
NUVir|q  
　　cos3a j#EZ\Q?^|b  
y_wl:U=.1  
　　=cos(2a+a) sLHb3U]>  
d|231f%5  
　　=cos2acosa-sin2asina C]8Oj-a  
.SdPYq  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Z CBK/z  
.#(XNQ{(7  
　　=4cos³a-3cosa JfY1tz.p  
Ujcq {P!  
　　sin3a=3sina-4sin³a ,6z~|eh$d  
DioRzQc  
　　=4sina(3/4-sin²a) a'<iDF;  
<}"6`xYS=A  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] sT}YYG5`E  
]Q/rK+=   
　　=4sina(sin²60°-sin²a) !O6d/w^=x  
]. :QzQp  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (lqp*Oc1i  
eg*cT5  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] >?Zad"8[a  
ilh]c D7  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) BvV>nP&M+  
F[_zf  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 6PK:ZzAh  
!I?$  
　　=4cosa(cos²a-3/4) = j,s,9I6  
_G6+<?d  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] /PXG26q  
0qfU Eo  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 7Lvj,a/  
bHSZ@dj  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) z];ya;|  
dU]"+4JF  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Da6zrJNG  
FtAnaBa  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) W"VYVS"ap  
+lU*s  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] TL25q0,hi  
xk*# c Y  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] }.|{2@ \  
H02&~~Z|  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) aC\W oO  
t L40 6  
　　上述两式相比可得 GlSJ>bk'  
[B]tD+t  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) jpqpT7R"2  
$}m(3m8  
半角公式 .7I}7(.EL  
c-N|E~e0&S  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,"[I*L@:6|  
-q+>1n1U3?  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. mxuk $93  
:#a+)cm  
和差化积 -]Kzh[^  
8$; p.sy  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 4p|WxS  
rn x 6j3$  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] *Z~ty kn  
-K?D&1 d  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] N$<4 ?o  
U}?3y=  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /0/Omu'<  
W$v*n7Q5%  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ZqpfcakI  
:IXV6  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) vJme[33,&  
%H<$tERbf`  
积化和差 b-qu hJ;x  
z}JSO@* 2  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] b&-@|(~X  
q2 bN4#F  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] RWCeD=py  
KAv|*  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] zU#im)1  
c2n<&Z  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] f}n}7Q8  
>y }TwM  
诱导公式 %)(qDS#0  
Om'J7xq  
　　sin(-α) = -sinα >@+px6,/'  
y\vL#ro  
　　cos(-α) = cosα `#9[!m+  
` ?c<?01  
　　sin(π/2-α) = cosα 91iCjz:3  
2+B0F&r  
　　cos(π/2-α) = sinα )j-i|>f\M  
hDF}r Fk}E  
　　sin(π/2+α) = cosα }kSf.a W  
Jlr1(Mh  
　　cos(π/2+α) = -sinα 7=mJ H<  
EP?cm0xh  
　　sin(π-α) = sinα &?%0kn<s`  
,y7L*O\VB  
　　cos(π-α) = -cosα <wG?$r7  
@#^2_ON0K  
　　sin(π+α) = -sinα O'k!QF_  
(LBE&  
　　cos(π+α) = -cosα x"q31`K{  
<4hN5*!*kC  
　　tanA= sinA/cosA G+i|sUg2  
uTT n]z6  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα G"bCOs[?  
M^ziJ.A%@S  
　　tan（π/2－α）＝cotα r6WtIdE$  
TD)"|>JY  
　　tan（π－α）＝－tanα iyw[=sUL{  
@zSQMtu  
　　tan（π＋α）＝tanα ]|9d#<6  
B<p"_Wog,  
万能公式 kyy8B A>  
HA1>z*QL  
　　 'o@*yi q  
*yOD eZ1y  
其它公式 6+c-Lv?  
$d%tS[Ef  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 8Z\bMQ2g  
_ciR1AH4T  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 H9Ru"73 "  
vge2q)f  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 59Q( h,]  
_AKPW$  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 (VF/Y2 s  
lm 1\sj|  
　　对于任意非直角三角形,总有 n\[8 1Wg  
O%r\.Sn 0l  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC w%Cp1t7"  
Y)^}O-5r  
　　证: @ZT8Z0\  
O}G / >,B  
　　A+B=π-C 4dK z7|  
gt}B14(1  
　　tan(A+B)=tan(π-C) <3T S0b`  
p-<E 3b_  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) !VBaEXrS  
>e~^2BpZ  
　　整理可得 s\ruK$mv  
Mq Y#pIx  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M X8.MN``  
E&QD}?  
　　得证 +F4Y y|L7  
q"FOs[6  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 >TRqA_hb  
|K2qQlm;2/  
其他非重点三角函数 Bm/%) M  
,pXbT P  
　　csc(a) = 1/sin(a) 8H-0VVo  
Bav/c?xCP  
　　sec(a) = 1/cos(a) G?3`Gm!a?  
{P7ca*N  
　　 xVX{-s}-  
vt$sL)+T  
双曲函数 .''ng 3IP  
F(J:t@ }  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 HVwv>(Sa  
Z<.]E^ i  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2  s!JY  
XXq2+F!UYi  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) (Luug a  
<yo(v-  
　　公式一： P^p xg\qRM  
)kVCe[O  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：  -{U!Pt  
Z_;xHV6j^  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 6Ac24m LFF  
4fXlu  5  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Y 2]'MvHh  
Yk jZY"DB)  
　　tan（kπ＋α）= tanα !;hS=bt  
D#Fn  
　　cot（kπ＋α）= cotα 9DMt)?  
0D98}  
　　公式二： 1'iBf$YM  
C- (T<P88  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： _w<5%^  
Cen_s/  
　　sin（π＋α）= -sinα wr{g  
J^O*hR%]  
　　cos（π＋α）= -cosα  s,D\k[  
b%-)C@  
　　tan（π＋α）= tanα vzEFE/h#G{  
hT#PzR#)"  
　　cot（π＋α）= cotα ]E(0Ean#  
J`v5x$  
　　公式三： q5ks9[#*`  
]8BKF'  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Pk,4SqD%o  
}unm%"; HT  
　　sin（-α）= -sinα ,~(]U5Ic  
4gv\=3-F  
　　cos（-α）= cosα BmKlmIC5@#  
;+Y t4/}W  
　　tan（-α）= -tanα WmL:i.  
A(RufG[`   
　　cot（-α）= -cotα GZY5",7l  
zh}|_ w  
　　公式四： i>9V/T5  
h/&k#]zF  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： p.j>jD77a  
>i)Z =  
　　sin（π-α）= sinα 0|^kJ  
ko67@WcD  
　　cos（π-α）= -cosα l_rNC~n  
e}dbYTcRX7  
　　tan（π-α）= -tanα z]A#  
< UR,{EfX  
　　cot（π-α）= -cotα ]<8puV +  
%wu\K/(IxI  
　　公式五： !_@)_'gy  
zL"4#Q8  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： xiZ,Is1n  
V +f+} r'  
　　sin（2π-α）= -sinα K1I_O@*2  
j`b`zzvA|  
　　cos（2π-α）= cosα v""K~k  
o&lVAt#fbF  
　　tan（2π-α）= -tanα q%`T32m  
}Wg5zXG  
　　cot（2π-α）= -cotα b' JZ'n3_  
*R0<JxI  
　　公式六： ^ NyO*Zl  
P=aUcV5*  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ciKPDO:  
}*`Z+{^*R  
　　sin（π/2+α）= cosα -CV{O  
uQmx3:A  
　　cos（π/2+α）= -sinα i# 8;RT  
h?s`=?'  
　　tan（π/2+α）= -cotα ~@/%|U#  
ybuu%6g  
　　cot（π/2+α）= -tanα g >CW6Mp  
;#})*]  
　　sin（π/2-α）= cosα /5 4[R2RI  
S,zQ7y'Q  
　　cos（π/2-α）= sinα _VuTk`a.OG  
o\mhf  
　　tan（π/2-α）= cotα t*Bn}ip  
)?ONso|  
　　cot（π/2-α）= tanα :)HHp  
|/6"\S?#+  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Z~rN+3K"y  
uad9#Bsy~  
　　cos（3π/2+α）= sinα z"[~;Z+'~u  
vh WHl  
　　tan（3π/2+α）= -cotα I^+=Me^  
=p.E:HKTM  
　　cot（3π/2+α）= -tanα .-$R;2)jr3  
8P@.#atC  
　　sin（3π/2-α）= -cosα B/XYC^l^a  
yu,HBR-+  
　　cos（3π/2-α）= -sinα f-WuB@x\  
bW!t&|$  
　　tan（3π/2-α）= cotα 1t7h /S865  
Hrq=2X  
　　cot（3π/2-α）= tanα V!JOai  
1XiV$9<  
　　(以上k∈Z) BUTp;<~  
[H.HmeWM|  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 g&$gWtd<  
s3+B   
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 1.}.51Wp  
GJ <WA#;'-  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } i$K0v1J  
;'"`=X|"[  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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